ДЛЯ ИЗБРАННОГО ЗРИТЕЛЯ!

Мастер - класс!
Благодарностей надо.

Дуги АВ,ВС,СД,ДВ обозначим а,в,с,д. Имем а-с+д-в=2*30+2*40=140
а+в+с+д=360.вычитываем получаем 2*(с+в)=220
Искомый угол=(с+в)/2=55

Все равно что - то простенько.

1) Примем ВСК и СDМ за Х. (Они равны как вертикальные). Тогда угол СВА равен 40+Х, как внешний для ВКС и угол АDС равен 30+х, как внешний для СDМ.
2) Заметим, что углы СВА и АDС - противоположные углы четырехугольника, вписанного в окружность. Значит их сумма равна 180 градусам.
Составим уравнение с Х:
30+Х+40+Х=180, Х = 55.
3) Рассмотрим АКD. В нем угол АDК равен 55+30=85, тогда из суммы углов треугольника, равной 180 градусам, искомый угол альфа равен 180-40- 85=55.

Задача решена!

P.S УУРРААААААА! НАКОНЕЦ РЕШЕНИЯ ПОЛНОСТЬЮ РАЗНЫЕ!!!!!!!!!!!!!!

∠BCD = 180°−α — внешний для △BCK и △CDM, тогда ∠CBK = 180°−α−40°, откуда ∠CBA = α+40° (аналогично ∠CDA = α+30°). ∠CBA+∠CDA = 180°, значит 2α+70° = 180°, следовательно α = 55°.

α=180°-<BCD=<DCM=<BCK, так как АВСD вписанный, по этой же причине <CDM+< CBK=180°, в то же время
<CDM-<CBK=40°-30°=10°, решая систему получаем: <СВК=85°; α=<BCK=55°

Разница между дугами АВ и СД - 60 градусов, между дугами АД и ВС - 80 градусов. Значит между дугами ВАД и ВСД разница в 140 градусов, а их сумма - 360 градусов, и дуги будут равны 110 и 250 градусов. Угол А опирается на дугу в 110 градусов и равен её половине - 55 градусов.

Можно решить и без дуг, углы в точках В и Д отличаются на 10 градусов, а их сумма 180, один угол 85, второй 95. Тогда вертикальные углы в точке С равны по 55 градусов, угол альфа столько же (так как они дополняют угол ВСД до 180 градусов)

Угол КСМ = 180-А = 70+А (внешний угол невыпуклого четырехугольника), отсюда угол А=55 градусов

Вписанный четырехугольник - суммы противоположных углов по 180. Из суммы сумм унлов выступающих треугольникоы имеем ВСД=180-40-30. ОТВЕТ 70

ABCD - вписанный четырёхугольник. Значит угол a=DCM=BCK. Далее смотрим на четырёхугольник AKCM: a+AKC+KCM(внутренний для рассматриваемого 4х угольника) +CMA=360; a+40+(180+a)+30=360 ==> 2a=110 ==> a=55.

Обозначим угол ДСМ=¥ . Тр. ВКС подобен тр. АКД , тр.АВМ подобен тр .СМД , решая через угол ¥ получим ¥=@=55 .

углы BAD+BCD=180, как вписан в окр... тогда BAD=DCM=BCK... тогда ABC и CDA отличаются на 10 градусов... суммируя углы четырехугольн, получим ABC+CDA+α +180-α=360... CDA=75...CDM=105...α=55

Можно решить и без формул: АВС = 180-a-30, угол ADC = 180-a-40, но в сумме они должны давать 180 так как лежат на окружности и эти две дуги составляют всю окружность > 180-a-30+180-a-40 = 180, находим a

я решил красивее. сделал систему уравнений, где уравнял суммы углов основных двух треугольников. Добавил в систему уравнения для углов, образующихся между радиусами и хордами. Тут помогает то, что треугольники внутри круга все равнобедерные - с равными углами у оснований. Применяем правило вписанного четырёхугольника - не слышал о таком раньше . И имеем 2 * а = 110.