ЗАДАЧА НЕВЕРОЯТНОЙ КРАСОТЫ! Суперское решение!

А чё ее искать - вот она, розовая ..
По свойствам касательных диаметр равен Египту + 3+4. Дальше по примеру одного итальянца удаляем все лишнее жёлтое, включая Египет 144-54-6-48=36

Красиво!и РЫ.СЫ. Звук превосходный.

Завораживающее решение.С двух раз понял,скрывать не буду.Спасибище,Валерий.

После нахождения FC
продлим BC влево
построим AL || KM до пересечения с продолжением BC
Δ ABK= Δ ABK и оба они подобны Δ MCK
переместим A в L тогда площадь ΔLKM = площади ΔAKM
LK=2*BK=2*9=18
площадь ΔLKM = 0.5*LK*CM=0.5*18*4=36

Радиус окружности равен полупериметру тр-ка СКМ , r=(КС+СМ+КМ)/2 , по теореме Пифагора КС=\/КС=\/СМ*2+КС*2=\/4*2+3*2=5 , r=(3+4+5))/2=6 , сторона квадрата АВ=ВС=СД=АД=2r=2x6=12 SAKM=SABCД-SABK-SAMД-SCKM=12*2-((12(12-9))/2-((1212(12-4)/2)-(3x4)/2/2=36 . Если КС и СМ = другим числам - определим АК и АМ - площадь по ф - ле Герона или определить Cos a между этими сторонами , затем Sin a и имея две стороны и угол между ними определим площадь тр-ка АКМ . АК=\/12*2+(12-9)=15 , АМ=\/12*2+(12-4)*=4\/13 , по Герону - S=\/р(р-КМ)(р-АМ)(р-АК) , р=(КМ+АМ+АК)/2=(5+4\/13+15)/2=10+2\/13 - полупериметр , S=\/10+2\/13)(10-2\/13)(2\/13+5)(2\/13-5)=\/48х27=\/16х3х3х9=36 .

Находим всё стороны трeугоника через Пифагора
КМ=5
АК=√9^2+12^2=√9*9+12*12=√9*9+4*3*4*3=√9(9+16)=√9*25=3*5=15
АМ=√8^2+12^2=√8*8+12*12=√4*2*4*2+4*3*4*3=√4*4(4+9)=√4*4*13=4√13
S=√p(p-a)(p-b)(p-c)
p=(a+b+c)/2=(5+15+4√13)/2=(20+4√13)/2=10+2√13
S=√(10+2√13)(10+2√13-5)(10+2√13-15)(10+2√13-4√13)=√(10+2√13)(5+2√13)(2√13-5)(10-2√13)=√(10+2√13)(10-2√13)(2√13+5)(2√13-5)=√(10^2-(2√13)^2)*((2√13)^2-5^2)=√(100-52)(52-25)=√48*27=√4*4*3*9*3=4*3*3=36

КМ=5, соотв.FC=6. AK=15, AM= 4 корня из 13, по Герону находим площадь АКМ равную 36.

Для чего все эти сложности? Информации о том,что половина стороны квадрата равна 6 достаточно для нахождения площади треугольника AKM. S КВ.= 12×12=144. S AKM=144-ABK-KCM-MDA. Нам известны катеты трёх жёлтых треугольников,поэтому найти их площадь не составит труда. 144-54-6-48=36.

Очень красивое размещение треугольника в квадрант👍

Но после вычисления радиуса
R=(5+3+4)/2=6,
известны координаты точек A(0,0), M(12,8), K(9,12),
а найти площадь по координатам довольно легко:
S=½•abs(det({0,0,1}, {12,8,1}, {9,12,1}))=
=½•|12•12-8•9|=6•12-4•9=72-36=36

Задача сама по себе достаточно тривиальная, а вот решение - весьма эффектное.

Доказательство того, что треугольник - четверть квадрата красивее, конечно, но и без этого герон - перебор. Можно площадь S(AKCM) - S(KCM). KC = a, CM = b, KM = c, BC = (a+b+c), S(AKC) = (a+b+c)*a/2, S(ACM) = b(a+b+c)/2, S(KCM) = ab/2. S = ((a+b+c)(a+b) - ab)/2 = (a^2+b^2 + ab + ac+bc)/2 = (a^2+ b^2 + (a^2+b^2) + 2ab + 2ac +2bc)/4 = (a+b+c)^2/4.

Не для средних умов. !!! ))

Сторона квадрата равна периметру треугольника 3+4+5=12. Красный треугольник - это квадрат без 3 жёлтых. S=12×12-12×9/2-3×4/2-12×8/2=144-54-6-48=36.

Не искал половину стороны квадрата, а сразу CF + CP = сторона квадрата = 12.
Дальше не нашёл красивого и быстрого способа, а просто вычел площади трёх жёлтых треугольников: S = 12² - 3•4/2 - 12•(12 - 3)/2 - 12•(12 - 4)/2 = 36.

/
Да уж.
Такое решение никто не сплагиатит!
/

Продолжим КМ до пересечения с АД в т.Р . Обозначим сторону квадрата =X , MД=X-4 . Тр. ДМР ~ тр. СМК , МД/МР=СМ/СК4=4/3 ,ДР=3/4*(X-4) . AP=2*(X-3)=2X-6 . ДР=АР-X=2X-6-X=X-6 =3/4*(X-4) , откуда X=12 .S(AMK)=S(AВСД)- S(ABK)-S(KCM)-S(AMД)=36

Эль Клоссико.
Набросаю шаги, решение вечером. Гипотенуза делится 2:3 -- на 2 и 3. Сторона квадрата = 12. Ну и всё. ДМ=8, ВК=9..
Ответ:36

Сторону квадрата обозначим х, площадь искомого треугольника S=(х^2-х(x-3)/2)-(х(x-4)/2)-6=(7x/2)-6, сторона квадрата находится как в видео (х\2)-3+(х\2)-4=5 (где КМ=5), х=12, S=42-6=36.

Посмотрел ролик. За такое решение Мариванна поставит двойку, патамушта запутается. .. или пятерку, со словами: "да чорт с ним"

Сторона квадрата -- Х. Х=х(х-3) --х(х-4)=12. S(AKM)=S(ABCD)--S(ABK)--S(AMD)--S(KCM)=144 - 54 - 48 -6 = 36

Найдя сторону квадрата, можно задать систему координат, скажем, с началом в точке А, и определить координаты вершин треугольника: A (0, 0), K (9, 12), M (12, 8). Далее применим "шнуровку Гаусса", начиная с вершины А. Получим S(AKM) = [(0*8 + 12*12 + 9*0) - (12*0 + 9*8 + 0*12)]/2 = [144 - 72]/2 = 36.

Мое решение: После нахождения стороны квадрата, находим сумму 4 площадей и приравниваем к площади квадрата, оттуда выражаем площадь треугольника через сторону квадрата - S=(7a-12)/2, далее, S1+S2+6+Sakm=1/2(a-3)*a+1/2(a-4)*a+6+Sakm=a*a, далее, S=(7a-12)/2=(7*12-12)/2=36

Здравствуйте, Валерий. Не хотите разобрать задачу для видео, а точнее признак равнобедренности трапеции?
Задача:
Дана трапеция ABCD (BC < AD), провели MN параллельно основаниям (M на AB, N на CD). Оказалось, что угол BDM = углу CAN или угол DBN = углу ACM, требуется доказать что трапеции ABCD, AMND, MBCN равнобедренные.

В магазинах ОZ пособий "Наглядная геометрия " для 7, 8, 9 классов нет в наличии. Жаль

Провел через точку А прямую параллельную КМ до пересечения с продолжением стороны ВС в точке А'. Площадь треугольника А'КМ равна искомой площади АКМ. А'К = A'B + BK = 18. А высота треугольника - это СМ, которая нам известна - 4. S = 1/2 * 18 * 4 = 36

Звук хороший :)

Красота в том, что сторона квадрата равна периметру КСМ, а площадь треугольника - четверти квадрата периметра. Замечательная задача и её решение!

Задача красивая! Моё решение мне показалось тоже довольно изящным. Пусть АВ=ВС=...=х. Тчки касан.: на ВС--Н, на КМ--Р, на СД--Т.
НК=КР=х/2--3, РМ=МТ=х/2--4. КМ=5. Отсюда: х/2--3=5--(х/2--4). х=12. Сл-но, АВ=12, ВК=9, МД=8. АК=15, АМ=4\/13(Пифагор). Герон: S=36

Ход с равенством треугольника четверти квадрата - необычен, и... гениален. Увидеть возможность такого доказательства - круть

площадь треугольника равна четверти квадрата - выводится "легким движением руки" при помощи двух формул в общем виде. Надо - скину куда-то..

Маэстро, Вы немного замутили восприятие. В 1-ом равенстве поменяйте местами левую и правую части равенств: Sотк = Sjfk, тогда складывая р-ва в столбик в левой части получим автоматически площадь треугольника АКМ, а в правой - площадь квадрата ОFCP. Поверьте так прозрачнее и легче воспринимается.

Положим для простоты сторону квадрата равной 1. Обозначим: КС = к, МС = m. Понятно, что к и m – относительные величины. Уравнение прямой КМ :
ky + mx + km – k – m =0. Расстояние от точки А(0, 0) до этой прямой равно: h = (k + m – km)/ √(k² + m²) , и это высота треугольника. Его основание КМ = √(k² + m²).
Тогда его площадь: S(АKM) = (k + m – km)/2. Применим условие касания КМ к окружности: расстояние от точки О(1/2, 1/2) до КМ = 1/2 (радиус).
1/2 = (1/2∙k + 1/2∙m + km – k – m)/ √(k² + m²). После несложных преобразований, отсюда получим равенство: к + m – km = 1/2 !!(независимо от точки касания!!).
Окончательно: S(АKM) = (1/4)∙S(ABCD). Чисто техническое решение и ничего более.

В задачах с квадратами очень часто аналитическая геометрия в помощь!
Пусть A = [0; 0], C = [p, p];
tg(MKC) = 4/3;
K = [p-3; p]; M = [p, p-4];
KM: 4x + 3y = b;
b = 4p + 3p - 12 = 7p - 12;
KM: y = 4x + 3y = 7p - 12; 4x + 3y - 7p + 12
Пусть O = [0.5p; 0.5p] - центр окружности;
Имеем: A = 4; B = 3; C = 7p - 12; Ox = Oy = 0.5p;
Расстояние от точки O до прямой KM равно:
d = |A*Ox + B*Oy + C|/sqrt(A^2 + B^2) = |2p + 1.5p - 7p + 12|/sqrt(9 + 16) = |-3.5p + 12|/5.
С другой стороны, это расстояние - радиус окружности, равный 0.5p. Составляем уравнение:
|-3.5p + 12|/5 = 0.5p;
|-3.5p + 12| = 2.5p;
Поскольку явно p > 4, -3.5p + 12 < 0, и уравнение принимает вид:
3.5p - 12 = 2.5p, или p = 12; (!!)
K = [9; 12] и M = [12; 8]; A = [0; 0]
Зная координаты всех трех точек, вычислим S(AKM):
S = 0.5|(Kx - Ax)(My - Ay) - (Mx - Ax)(Ky - Ay)| = 0.5|9*8 - 12*12| = 0.5*(144 - 72) = 36. (!!)

3-4 это лишнее, площадь при таком построении зависит только от стороны квадрата. 3+х=4+5-х.
Ученикам послана задача : доказать, что площадь в данном квадрате постоянна и выразить её через сторону квадрата а. Как вы думаете, выслать им геогебру или нет?
Ответ 36.