ЗАДАЧУ РЕШАЕТ ВОЛШЕБНАЯ ТЕОРЕМА! Площадь параллелограмма.

На самом деле, здесь можно и без дополнительных построений)

Если обозначить площади за S1 и S2, где S2 - большая из них, тогда легко получить систему уравнений:

S2 - S1 = 16
S1*S2 = 15²

Первое уравнение выходит из равенства половинок параллелограмма (S2 + 15 = S1 + 31), а второе - из отношений площадей треугольников с общей высотой и подобных треугольников: S1/15 = 15/S2

Отсюда S2 = 25, S1 = 9, значит, общая площадь равна 80

P.S. В общем виде ответ не очень красивый)

Решил через систему двух уравнений с двумя неизвестными. Одно из равенства половинок параллелограмма 31+S1=S2+15, другое из отношения площадей с общим основанием 15/S2=S1/15. Ответ тот же. Спасибо за видео.

Добрый день. Просто великолепная теорема. Спасибо Вам большое.❤

Дополнительное построение: отрезок АМ,
S(ACM)=S(CDM), так как у треугольников одно основание СМ и одинаковая высота,
S(AKM)=S(ACM)-S(CKM); S(CDK)=S(CDM)-S(CKM); S(AKM)=S(CDK)=15.
S(ABM)=S(ABMK)-S(AKM); S(ABM)=31-15=16.
S(ABC)=(ACD)=S; S(ABCD)=2S.
S(ADK)=S(ACD)-S(CDK); S(ADK)=S-15; S(CKM)=S(ABC)-S(ABMK); S(CKM)=S-31.
∠DAK=∠KCM, как накрест лежащие при AD∥BC и секущей AC, ∠СМК=∠ADK, как накрест лежащие при АD∥BC и секущей DM;
∆ADK∾∆CKM; S(ADK)/S(CKM)=AD²/CM²; AD=BC(противоположные стороны параллелограмма);
(S-15)/(S-31)=BC²/CM²
S(ABC)/S(ABM)=BC/BM, так как у треугольников одинаковая высота; S/16=BC/BM;
BM=BC-CM; S/16=BC/(BC-CM); S*BC-S*CM=16*S; CM=BC*(S-16)/S;
(S-15)/(S-31)=BC²/(BC²*(S-16)²/S²); (S-31)*S²=(S-15)*(S-16)²;
S³-31*S²=S³-15*S²-32*S²+480*S+256*S-3840;
S²-46*S+240=0; S=23+_√(529-240); S=23+_√289; S=23+_17; S(1)=6-не удовлетворяет условию задачи; S(2)=40;
S=40; S(ABCD)=2*S; S(ABCD)=2*40=80; S(ABCD)=80.
Ответ: S(ABCD)=80.

Щедевральная задача! Я за 35 лет опосля школы её и подзабыл! Еле решил. Спасибо, что дали такое простое решение!!!!

Такой хытрый.

Как же это свойство запомнить и начать применять?! Уже неоднократно видел его на канале, а для новых задач никак мозг не расшевеливается...

Я девятиклассников ( у вас это восьмой) гоняю на таких задачах.

спасибо за теоремку! дальше как вы решил

👏

Не очень сложно. Как когда-то говoрили Знатоки: Не на смекалку, а на голое знание...
В трапеции АМСД: Samk=Sckd=15(св-во тр-ции). Пусть Smck--x, Sakd--y, тогда:
31+х=у+15
15^2=x*y. х=9, у=25. Sabcd=40*2=80

Доброе утро!
Замечательно, что волшебная теорема док в учебнике!
Теорема часто упрощает решение задач. Столкнулась в первый раз два года назад. Не вышла бы, наверное, из затруднения, если бы не ученица, которая училась по учебнику ВВ!
Девочка привела Т, а док было просто.

А диагонали в выпуклом четырехугольнике всегда перпендикулярны? Я видимо это пропустил.

А почему площади треугольников прилежащих к боковым сторонам равны? У них разные высоты, разные основания, как это выходит?