ЗАДАЧА № 1 ИЗ СКАНАВИ! Ответ перед вами! Видите его?

А я по рабоче-крестьянски: нашёл радиус из теоремы Пифагора (он, правда, оказался иррациональным со страшной силой: там (√97 - 7)/2, но это не страшно, там всё "лишнее" сократится в итоге), а потом перемножим ставшие известными катеты и результат поделим пополам. Не так красиво, конечно, но тоже можно.

Решал подло и нечестно -- сначала узнал ответ корявым способом, а затем:
S=r*(r+7); 2*s=(r+4)*(r+3)=r*(r+7). +12
Ответ:12

А что тут "уметь"-то ?? Даже интуитивно просится 12)))) Валерий,вы нас уже приучили к напрашивающейся "халяве")) З.ы. ПризнаЮсь в воровстве..В школьном кабинете математики была неплохая библиотека..Таки вот..Я СПЁР этот самый учебник Сканави,потому что ну уж очень "другим" и интересным показался (в отличие от стандартного школьного,Колмогорова). Наша математичка переживала :"Кто-то стащил у меня самый лучший учебник! ") И только после выпускного и экзаменов,я ей признался ,что это я)) Уж больно "вкусным" показался))) На что она мне ответила: "Украсть учебник - это не грех! Лишь бы на пользу пошло" )))

Из вашего задания я с трудом нашел r, он равен (√97-7)/2, прав ли я?

По теореме Пифагора, АВ в квадрате равно АС в квадрате плюс ВС в квадрате.
(м+r)кв + (n+r )кв=(4+3)кв. Отсюда находим r, а значит и катеты и площадь треугольника!

Точно такое же решение и у меня.

Решал через подобие треугольников. Решение автора проще, если помнить формулу.

Чего-то, что называется, в одно действие задача у меня не решилась. Вот, что мне удалось выдать на гора́:
Т.к. в ∆-к вписана окружность радиуса R, то
АС=R+4
BC=R+3
S=(R+3)(R+4)/2 (1)
По теореме Пифагора:
(R+3)^2+(R+4)^2=7^2 (2)
Из (1):
S=[R^2+7R+12]/2 (3)
Из (2):
2R^2+14R+25=49
R^2+7R=12 (4)
Подставим в (3) вместо R^2+7R в соответствие с (4) правую часть уравнения (4)
S=[R^2+7R+12]/2=
[12+12]/2=12☑️☑️

Обозначу для общего случая a=4, b=3. Тогда катеты = a+r и b+r. И будет выполняться (a+r)^2+(b+r)^2-(a+b)^2 = 0 - теорема Пифагора. Пусть S - площадь. Тогда (a+r)*(b+r)-2*S = 0 (произведение катетов = удвоенной площади) Вычтем из половины первого уравнения второе уравнение. Получим -2*a*b+2*S=0. Откуда S=a*b = 4*3 = 12

я тоже так сделал, как два предыдущих оратора)) а тут хорошее решение... гладкое... а радиус с корнем из 97-ми это жесть конечно... валерий напугал половину подписчиков

Оч красивая задача, как и решения!

Посмотрел Ваше решение, уважаемый ВВ. Красиво как карточный фокус... Кажется, начинаю понимать, как Альберт Германович получил свою бессмертную E=mc^2😂

Спасибо большое. Очень интересно

Решал самым "тупым" способом без фантазии через т. Пифагора, т.к. катеты 4+r и 3+r. Получил r = (sqrt97 - 7)/2 , думал, ну всё, не туда занесла нелёгкая, однако при расчёте площади корни чудесным образом сократились, оставив 12.
О, вижу, не я один такой "умный" 😁

То же самое через теорему Пифагора c^2 = a^2 + b^2 с подстановкой чисел m+n, m+r и n+r. После сокращений левой и правой части на m^2 и n^2 и затем деления их на 2 остаётся mn = (m+n)r + r^2 = S (согласно рисунку).

красиво.. но решал по старинке через пифагора и хитрую подстановку..
обозначил x = r+3.5 => S = (x-1/2)(x + 1/2)/2 = (x^2 - 1/4)/2

по теореме Пифагора: (x - 1/2)^2 + (x + 1/2)^2 = 49 => 2x^2 + 2*1/4 = 49 => x^2 + 1/4 = 49/2 ( вычтем - 1/2) => x^2 - 1/4 = 48/2 = 24 и подставил в формулу для площади S = 24 /2 = 12

До такого решения сложно додуматься. Все пойдут через квадратное уравнение, но там ожидает сюрприз в виде корня из 97

В общем виде площадь прямоугольного треугольника равна произведению отрезков гипотенузы, на которые она делится точкой касания

Красивое алгебраическое решение. Замечательная формула. Спасибо.

Мое Алгебраическое Решение -Решим Уравнение (3+x)²+(4+x)²=49
x≈1.43=r
S=5.43*4.43/2≈12.

Спидран по задачам, поехали. По старике проводим радиусы, перпендикулярные сторонам. Те же равные треугольники и квадрат со стороной в радиус. Ничего не меняется. Типичная задача. Отправляемся в Грецию, воскрешаем Пифагора, чтобы он своей теоремой составил уравнение, где надо найти радиус. НО ПОЧЕМУ НЕЛЬЗЯ БЫЛО СДЕЛАТЬ ЦЕЛОЕ ЧИСЛО??? РАЗРАБЫ ГЕОМЕТРИИ, ДАЙТЕ НОРМАЛЬНУЮ ЗАДАЧУ (рофл). А площадь в ходе СОВСЕМ ЛЕГКИХ ДЛЯ КАЛЬКУЛЯТОРА ВЫЧИСЛЕНИЙ НА ИСТОЩЕНИЕ (рофл) ответ 12... Ура...